Moving average filter (이동평균필터) 아시나요? M개의 점에 대해서 평균을 구하는 필터입니다. 여기서 M은 정하는 것이고요. 이동평균필터를 표현하기 위해서는 impulse response 이 있으면 되죠. 그리고 impulse response를 분석하려면 impulse response의 푸리에 변환(Discrete Time Fourier Transform (이산시간 푸리에변환,DTFT))인 주파수응답이나 z변환인 시스템함수 전이함수등을 구해야 됩니다. 이번 글에서는 이동평균필터의 주파수 응답과 시스템함수등을 계산해보겠습니다.
Moving average filter (이동평균필터)의 system function, frequency response 구하기
Moving average filter (이동평균필터)의 impulse response
길이가 M인 이동평균필터의 impulse response는 아래와 같습니다.
$$h[n] =
\begin{cases}
\frac{1}{M} & \text{if } n = 0, 1, 2, …, M-1 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}$$
Moving average filter (이동평균필터)의 system function
impulse response 의 z변환을 구하면 되죠. 아래와 같이요
$\begin{equation}
H(z) = \frac{1}{M} \frac{1-z^{-M}}{1-z^{-1}}= \frac{1}{M} \frac{z^{-\frac{M}{2}}}{z^{-\frac{1}{2}} }\frac{z^{\frac{M}{2}} – z^{\frac{-M}{2}}}{z^{\frac{1}{2}} -z^{\frac{-1}{2}}}
\end{equation}$
Moving average filter (이동평균필터)의 frequency response
위의 시스템 함수에 $z=e^{j\omega}$를 구해서 푸리에 변환을 구하면 되죠
$\begin{equation}
H(e^{j\omega}) = \frac{1}{M} \frac{e^{-j\frac{M}{2}\omega}}{e^{-j\frac{1}{2}\omega} }\frac{e^{j\frac{M}{2}\omega } – e^{j\frac{-M}{2}\omega}}{e^{j\frac{1}{2}\omega } -e^{j\frac{-1}{2}\omega}} = \frac{1}{M}\frac{e^{-j\frac{M}{2}\omega}}{e^{-j\frac{1}{2}\omega} } \frac{ \sin \frac{M}{2}\omega}{\sin \frac{1}{2}\omega }
\end{equation}$