Optimal transport를 서술하는 방식은 여러개인데 이번에는 Monge’s formulation에 대해 알아보자.
X,Y를 probability space라고 하고 각각 probability measure \mu, \nu 가 정의 되었다고 하자.
c: X \times Y \to [0, \infty) 를 cost function이라고 하자.
Monge가 기술한 optimal transport problem은 아래와 같이 cost를 작게 하는 Transformation T: X \to Y 를 찾는것이다.
inf \left\{ \int_X c(x,t(x))d\mu(x) \bigg\rvert T_*(\mu)=\nu \right\}