parseval’s theorem, 푸리에 변환의 파시발의 정리

신호 $x[n]$이 있고 $X(e^{j\omega})$는 $x[n]$의 DTFT 라고 하자.

그러면 다음과 같은 식이 만족한다.

$$\sum_{n} |x[n]|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |X(e^{j\omega})|^2 d\omega \tag{1}\ref{1}$$

Parseval’s theorem의 의미

Parseval’s theorem 의 의미를 보도록 하자. $\sum_{n} |x[n]|^2$은 신호 $x[n]$이 갖고 있는 총에너지를 의미한다. $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |X(e^{j\omega})|^2 d\omega$는 신호 $x[n]$의 주파수 축에서의 에너지를 의미한다. parseval’s theorem의 의미는 신호 $x[n]$의 시간축에서의 에너지와 주파수축에서의 에너지가 동일하다는 의미이다.

parseval’s theorem은 푸리에 변환의 역변환을 사용하면 된다.

$DTFT(x[n]) = X(e^{j\omega})$ 이므로 $DTFT(x^*[-n]) = X^*(e^{j\omega})$ 이다.


컨볼루션을 생각해보면 $DTFT(x[n]*x^{*}[-n]) = X(e^{j\omega})X^*(e^{j\omega}) = |X(e^{j\omega})|^2$

푸리에 역변환을 생각해보면 아래와 같이 쓸수 있고

$$\sum_m x[m]x^*[n-m] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |X(e^{j\omega})|^2 e^{j\omega n} d\omega$$

여기서 n=0을 넣으면 parseval’s theorem이 증명된다.

$$\sum_m |x[m]|^2 = \sum_m x[m]x^*[m] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |X(e^{j\omega})|^2 d\omega$$