Poincaré ball위에서 Möbius addition에 대해 알아보자.
Poincaré ball (\mathbb{D}_c^n, g_c) 이 있다고 하자. c > 0 는 curvature를 뜻한다. \mathbb{D}_c^n = \{ x \in \mathbb{R}^n : c \lVert x \rVert < 1 \}
x, y \in \mathbb{D}_c^n 일 때 이것의 덧셈은 아래와 같이 정의한다.
x \oplus_c y := \frac{(1+2c<x,y>+c\lVert y \rVert^2)x + (1-c\lVert x \rVert^2 ) y}{1+2c<x,y>+c^2 \lVert x \rVert^2 \lVert y \rVert^2}출처 – O. Ganea, G. Becigneul, and T. Hofmann, “Hyperbolic neural networks,” in Proc. Adv. Neural Inf. Process. Syst., 2018, pp. 5345–5355.