이번글에서는 랜덤프로세스(랜덤한 신호) $X_t$의 Power Spectral Density의 정의와 의미를 알아보도록 하겠다.
PSD에 대해 논하기 전에 WSS(WSS(Wide Sense Stationary)Process 의 정의와 의미)가 무엇인지 Correlation(
LTI System(시불변 시스템) 의 Correlation Function 간의 관계와 Fourier Transformation설명) 이 무엇인지 보고오자.
위의 글을 다 보고 왔다면 아래 글을 보자.
PSD의 정의
랜덤한 신호 $X_t$가 WSS 일 때 이것의 Correlation Function $R_{X}(\tau)$를 생각하자.
$R_{X}(\tau)$의 푸리에 변환(Fourier Transformation) $S_{X}(\tau)$를 Power Spectral Density 라고 한다.
PSD의 의미
사실 정의만 보면 무엇인지 알 수 없다. 이름이 Power Spectral Density 인데 Power를 구하기 위한 주파수상의(Spectral) Density라고 추측할 수 있는데 과연 그 의미가 맞는지 보자.
그 전에 Power의 의미를 모른다면 이 글을 먼저 오자(랜덤 프로세스 Expected Average Power, Expected Instaneous Power 의 정의와 의미)
$X_t$가 WSS이라고 하자 $P_X$를 Expected Average Power라고 할 때 다음이 성립한다.
$$P_X = \int_{-\infty}^{\infty} S_X(f) df$$
위의 식으로 보아 $X_t$의 Expected Average Power를 $X_t$의 PSD인 $S_X(f)$을 적분하여 구할 수 있다.
그런데 잠시 $X_t$라는 신호는 여러 주파수가 합성된 신호이다. 그랬을때 $X_t$를 구성하는 신호중 특정 주파수 대역의 신호의 Expected Average Power를 구하고 싶다면 어떻게 해야 할까? 다음의 LTI System을 생각해보자
$X_t$가 입력이고 $Y_t$가 출력인 LTI 시스템이다. Transfer Function 의 구조는 아래와 같다.
이 Transfer Function 을 사용하면 신호 $X_t$ 를 구성하는 신호 중 주파수 대역이 A에서 B사이에 해당하는 신호 $Y_t$를 추출한다.
$X_t$가 WSS 이면 $Y_t$도 WSS 이다.(WSS(Wide Sense Strict) 프로세스가 LTI 시스템(선형시불변시스템)을 통과해도 WSS 프로세스임을 증명) PSD의 의미를 사용하게 된다면 $Y_t$의 Expected Average Power를 다음과 같이 구할 수 있다.
$$P_Y = \int_{-\infty}^{\infty} S_Y(f) df$$
그런데 $$ S_Y(f) = \left|H(f)\right|^2 S_X(f)$$임을 알고 있다.(LTI System(시불변 시스템) 의 Correlation Function 간의 관계와 Fourier Transformation설명) 그래서 $Y_t$의 Expected Average Power는 아래와 같이 표현된다.
$$P_Y = \int_{B}^{A} S_X(f) df$$
$Y_t$가 신호 $X_t$에서 주파수가 A에서 B사이의 신호라는 점을 상기하면서 위의 결과를 해석하자. $X_t$의 신호성분중 특정 주파수대역의 Expected Average Power를 구하기 위해서는 $X_t$의 PSD인 $S_X(f)$를 적분하여 구할 수 있다는 의미이다.
PSD 결론
PSD를 적분하면 신호의 Expected Average Power를 계산 할 수 있다. 한 신호는 여러 대역의 주파수를 갖는 신호의 합성으로 생각할 수 있는데~ PSD를 이용하면 한신호를 구성하는 신호중 특정 주파수 대역의 신호의 Expected Average Power를 구할 수 있다.