어떤 랜덤프로세스 $x[n]$에 대하여 power를 정의할 수 있다. 평균적인 의미로써 power는 $E[|x[n]^2|]$로 정의가 된다. 이러한 power를 구하는데 사용될 수 있는 함수가 바로 Power Spectral Density(PSD, 파워스펙트럼밀도)이다. 이번에는 파워스펙트럼 밀도의 정의를 알아보도록 하자.
파워스펙트롬밀도의 정의
랜덤프로세스 $x[n]$이 있다고 하자. 다음을 만족하는 어떤 함수 $P_{xx}(e^{j\omega})$를 랜덤프로세스 $x[n]$의 파워스펙트럼밀도라고 부른다.
$$E[|x[n]|^2] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} P_{xx}(e^{j\omega}) d\omega$$
파워스펙트럼밀도를 이용하여 랜덤프로세스의 평균적인 파워를 구할 수 있다는 것에 의의가 있다. 그런데! 지금 정의만을 봤을 때 몇가지 의구심이 일어날 것이다. 그 의구심은 다음과 같다.
1. $E[|x[n]|^2]$ 에서 n 이 무엇이건 간에 파워가 같나?
2. 어떤 상황에서 파워스펙트럼 밀도가 존재하냐?
3. 파워스펙트럼을 구하는 방법은 무엇이냐?
위와 같은 세가지 의구심이 들 텐데 그점에 대해서는 추후 다른 글들에서 살펴보도록 하자.