파워스펙트럼밀도(PSD)는 어떤 신호의 에너지를 구하는데 유용한 친구이다. 파워스펙트럼밀도를 가지고 있다면 주파수영역에서 적분을 하면 신호의 에너지를 구할 수 있다. 파워스펙트럼밀도의 정의와 의미는 아래 글에서 확인할 수 있다.
Power-Spectral-DensityPSD파워스펙트럼밀도의-정의와-의미
그러면! 이 파워스펙트럼 밀도가 항상 존재할까라는 의문을 이 글(Power-Spectral-DensityPSD파워스펙트럼밀도의-정의와-의미)에서 언급 했었는데 이번 글에서 부분적인 정답을 보여주려고 한다. 사실 파워스펙트럼 밀도가 항상 존재하는지 안하는지는 모르겠다. 그런데! 한가지 조건을 만족하면 autocorrelation을 이용하여 파워스펙트럼 밀도를 구할 수 있다. 이 글에서는 그 존건을 살펴보도록 하자.
파워스펙트럼 밀도가 존재하기 위한 조건(WSS)
Random process $x[n]$이 WSS(Wide Sense Stationary(WSS) process, 넓은 의미의 안정성 프로세스의 의미) 이면 파워스펙트럼 밀도 $\Phi_{xx}(e^{j\omega})$는 신호 $x[n]$의 파워스펙트럼 밀도는 $x[n]$의 Autocorrelation(Autocorrelation(자기상관성) 의 정의와 의미) $\phi(m) = E[x[n]x[n+m]]$의 푸리에 변환으로써 존재한다.
Power Spectrum Density : $\Phi(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \phi(n) e^{j\omega n}$
Power : $E[x[n]^2] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(e^{j\omega}) d\omega$
여기서 주목해야 할점은 Autocorrelation 이 딜레이된 시간에만 의존해서 $\phi(m)$이라고 기술할 수 있다는 점 그리고 Power가 $n$에 의존하지 않고 일정하다는 점이다. 그 이유는 신호 $x[n]$이 WSS이기 때문이다.