Pushforward measure에 대해 알아보자. measure space (X,\sigma_X, \mu) 가 있다고 하자. X 는 set이고 \sigma_X 는 X 위의 sigma algebra 이다. 그리고 \mu 는 measure이다. 그리고 measurable space (Y,\sigma_Y) 가 있다고 하자. Y는 set이고 \sigma_Y 는 Y 위에 정의된 sigma algebra라고 하자. 아직 Y 위에 measure가 정의되어 있지 않다는 사실에 주목하자.
measurable function T: (X,\sigma_X) \to (Y, \sigma_Y) 가 있다고 하자. (X,\sigma_X) 위에는 measure \mu 가 있다. function T 와 measure \mu 를 이용해서 (Y, \sigma_Y) 위에 measure를 정의할 수 있는데 이것을 \mu 의 pushforward measure라고 부른다. T, \mu 에 의존한다는 의미에서 pushforward measure의 기호는 T_*(\mu) 라 쓰고 정의는 아래와 같이 한다.
\mu 의 pushforward measure 정의
T_* (\mu) (B) = \mu(T^{-1}(B)) \text{ for } B \in \sigma_YT 가 measurable function이고 \mu 가 measure이므로 위의 pushforward measure T_*(\mu) 가 잘 정의됨을 알 수 있다.
measurable set, measurable space, measurable function 의 정의
[Measure Theory(측도론)-1] Sigma algebra, 시그마 대수에 대해
[Measure Theory(측도론)-2] Measurable Space (가측공간)