확률미분방정식(SDE: Stochastic Differential Equation)을 이용한 Continuous time state space model 표현

확률미분방정식(SDE: Stochastic Differential Equation)을 이용한 Continuous time state space model에 대해 알아보자.

확률미분방정식은 어떤 물리적인 dynamics 를 표현하기 위해서 탄생한 녀석이죠. 이번 글에서는 확률미분방정식(SDE: Stochastic Differential Equations)을 이용하여 실제 sensor로 받게되는 측정값과 물리적인 상태에 대한 dynamics 를 표현해보도록 하겠습니다. 이 글을 읽기전에 SDE에 대해 궁금하신 분들은 SDE에 대한 글을 꼭 보고 오세요. 전문용어를 활용하면 Stochastic Differential Equation (확률미분방정식) 을 활용하여 Continuous time state space model (연속시간 상태공간 모델)을 표현 하는 방식에 대해 알아보겠습니다.

Stochastic Differential Equation 을 이용한 state와 measurement 표현

\mathbf{x} (t) 를 시간 t에 대한 어떤 물리적인 상태라고 합시다. 이 \mathbf{x} (t) 는 어떤 확률미분방정식을 따른다고 해봐요. 그렇다며 아래와 같은 수식 (1)로 표현이 되겠죠.

\begin{equation} d \mathbf{x} = f( \mathbf{x}, t) dt + \mathbf{L}( \mathbf{x}, t ) d \mathbf{w} \end{equation}



여기서 \mathbf{w}(t) 는 diffusion matrix \mathbf{Q} 를 갖는 위너 프로세스 (Winer Process) 입니다. 그런데 말이죠. 사실 \mathbf{x} 는 눈에 보이지 않습니다. 눈에 보인다면 다 해석한거죠. \mathbf{x} 는 sensor 를 통해 측정된 measurement 로 표현됩니다. 이 measurement 를 \mathbf{y} 라고 표현해 봅시다. \mathbf{y} 어떤 센서의 원리인 \mathbf{h}(\mathbf{x}, t) 에 의해 측정되고 sensor 가 갖고 있는 noise \mathbf{\xi} 가 더해져서 나타납니다. 수식 (2) 와 같이 \mathbf{y} 를 표현할 수 있어요.

식 (2)를 stochastic differential equation (확률미분방정식)을 이용해서 표현해보겠습니다. 그렇게 하기 위해서 \mathbf{y}(t) = \frac{ d \mathbf{z} } {d \mathbf{t}} 라고 한다면 수식(2)는 아래와 같이 수식 (3)처럼 나타납니다.

수식 (3)에서 \bar{ \mathbf{w}} 는 diffusion matrix \mathbf{P} 를 갖는 위너 과정입니다. 너무 장황하게 설명했는데요. 이제 아래와 같이 정리해 볼 수 있습니다.

Continuous time state space model: Stochastic Differential Equation (확률미분방정식)을 표현한 모델

이제 Continuous time state space model을 stochastic differential equation (확률미분방정식)을 이용해서 아래와 같이 표현해보겠습니다. \mathbf{x} 는 우리가 알고싶은 물리적인 상태 (state) 이고요 완벽히 관찰할 수 없습니다. 사실 센서를 통해서 \mathbf{y} 만을 관찰할 수 있죠. 이 \mathbf{x}, \mathbf{y} 에 대해서는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 그리고 아래와 같은 식을 Continuous time state space model 이라고 부릅니다.