Total Differential에 대해 알아보겠습니다.
Total Differential 은 무엇일까요? Total Differential 은 한국어로 번역하면 전미분이라고 번역됩니다. 이 전미분이라는 것이 무엇일가요? 이번 글에서는 전미분이란 무엇인지? 그리고 전미분의 예시를 보도록 하겠습니다. 여러분들 이번 글에서 Total Differentail (전미분)에 대하여 꼭 배워가도록 합시다. 감사합니다.
Total Differential (전미분)의 정의
전미분은 편미분이 가능한 실수 함수 u(x,y) 에 대하여 정의됩니다. 여기서는 설명을 편하게 하기 위하여 u(x,y)를 이변수함수로 두었습니다.정의역에서 x,y가 변할때 u(x,y) 가 어떻게 변하는지를 선형 적으로 근사하기 위하여 전미분 (total differential) 을 정의합니다.
Total Differential (전미분)의 정의 – 2변수 함수에 대하여
앞서 설명했듯이 편의를 위하여 이변수 함수 u(x,y) 에 대하여 먼저 전미분 (total differential)을 정의하겠습니다. 이변수 함수 u(x,y) 에 대하여 전미분은 아래와 같이 정의 됩니다. 아래와 같은 식 (1)처럼 정의됩니다.
\begin{equation} du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy \end{equation}입력인 x,y 가 아주 조금인 dx, dy 만큼 변할 때 u(x,y) 의 변화인 du 를 식 (1)을 통해 근사할 수 있습니다. 사실 2변수에 함수에 대해서만 total differential(전미분)을 정의할 수 있는 것은 아닙니다.
다변수 함수에 대한 Total Differential (전미분)의 정의
다변수 함수에 대해 Total Differential (전미분)을 정의할 수 있습니다. 여기서 말하는 다변수 함수란 입력 차원이 다차원인 실수 함수 u(x_1,...x_n) 를 의미합니다. 이 다변수 함수 u(x_1,...x_n) 에 대하여 Total Differential (전미분)을 정의할 수 있습니다. 2변수 함수에 대하여 (1) 처럼 정의하듯 다변수 함수에 대하여 Total Differential (전미분)을 정의할 수 있습니다. 아래와 같이 x_i 에 대한 편미분을 이용하여 전미분을 정의할 수 있습니다.
\begin{equation} du = \sum_{i=1}^n \frac{ \partial u}{\partial x_i} dx_i \end{equation}식 (2)에서 다변수 함수에 대한 Total Differential 에 대한 정의를 볼 수 있었습니다. 다변수 함수에 대한 전미분은 어떤 의미가 있을까요? 2변수함수의 전미분이 입력이 조금씩 변할때 u(x,y) 의 변화를 선형으로 근사했듯이 다변수 함수 u(x_1,...,x_n) 에 대하여 전미분 또한 x_1,...x_n 가 조금씩 변할 때 u(x_1,...,x_n) 의 변화를 선형 근사합니다. 정의자체와 의미 자체는 굉장히 쉽죠?
전미분 (Total Differential)의 예시
이제 전미분의 예시를 보도록 하겠습니다. 함수 u(x,y) = x^2 + 2 x^2 y^2 이 있다고 합시다. u(x,y) 의 Total Differential 을 구하기 위하여 u(x,y) 의 편미분을 아래와 같이 구해야 하지요.
\begin{equation} \frac{ \partial u}{\partial x} = 2x + 4x y^2, \frac{\partial u}{\partial y} = 4x^2 y \end{equation}Total Differential 에 대한 이해를 더욱 돕기 위하여 또다른 예시를 보도록 하겠습니다. 이번에는 3변수 함수인 u(x_1,x_2,x_3) = x_1 + x_2 + x_3^2 이 있다고 합시다. 이 함수의 전미분은 어떻게 구할 수 있을까요? 이번에는 결과만 구해보겠습니다. Total Differential 은 아래와 같이 나옵니다.
du = dx_1 + dx_2 + 2 x_3 dx_3어때요? Total Differential (전미분)의 정의에 대하여 좀 이해가 되셨나요? 여러분들도 전미분에 대해 꼭 알아가도록 합시다. 전미분을 이용하면요.
Total Differential (전미분) 의 활용분야
그러면 이렇게 전미분을 정의했으면 전미분이 왜 중요한지 알아야 겠지요? 왜 Total Differential 이 중요할까요? 저도 이부분이 궁금했는데요. 그래서 열심히 찾아보았습니다. 전미분을 이용하면요 영어로 하면 Total Differential 을 이용하면 여러가지를 할 수 있습니다. 전미분을 이용하면 열역학, 경제학, 공학, 금융수학, 생태학등에서 많이들 활용할 수 있답니다. 전미분이란 것이 무언가의 변화를 모델링하는 것이기 때문에 쓸모가 많아지는것인데요. 열역학에서는 열역학적 시스템의 온도, 압력, 부피 등의 변수들의 변화에 따른 변화를 보도록 하죠. 에너지의 변화를 잘 볼 수 있습니다. 경제학에서 전미분은 어떻게 응용 될까요? 생산량, 소비량, 가격등의 변수들이 연계가 있죠. 이러한 변화를 이용해서 경제를 예측할 때 Total Differential 을 이용합니다. 공학에서는 어떻게 사용할까요? 공학분야에서는 시스템의 동작이 영향을 미치는 정도를 전미분을 이용해서 모델링합니다. 기계공학에서는 힘, 속도, 압력등의 변수들의 변화를 모델링하기 위하여 전미분을 사용하기도 하죠. 금융수학에서도 많이 사용하죠. 금융수학에는 주가, 이자율, 환율 등의 변수가 있습니다. 전미분을 이용하여 금융 시장의 변동성과 리스크를 분석할 수 있습니다. 생태학도 있죠.생태학에서도 여러 환경 변수들을 이용하여 생태계 변화도 설명하죠. 여튼 전미분은 다양한 분야에서 활용 됩니다.
Total Differential (전미분)의 Stochastic 버전
Total Differential 의 Stochastic 버전이 있습니다. 바로 이토공식 (Ito formula)입니다. 이토공식에 대해서는 그전에 많이 설명해드렸죠. 궁금하신 분은 이토공식에 대해서도 보시길 바랍니다. 감사합니다. 여러분