미분방정식의 전이행렬에 대해 알아봅시다.
안녕하세요. 상미분방정식의 전이행렬에 대해 알아보겠습니다. 상미분방정식(oridinary differential equation, ODE)를 풀 때 전이행렬(transition matrix)는 중요한 역할을 하죠. 전이행렬이 어느 상황에서 필요한지 그리고 전이행렬의 정의와 역할에 대해 알아보겠습니다.
전이행렬이 필요한 상황
아래와 같은 상미분 방정식이 있다고 합시다. 여기서 point 는 \mathbf{F}(t) 는 state \mathbf{x} 가 아닌 시간 t에만 의존하는 행렬이라는 점인데요.
\begin{equation} \frac{d \mathbf{x}}{dt} = \mathbf{F}(t) \mathbf{x}, \quad \mathbf{x}(t_0) = \text{given} \end{equation}위의 미분방정식 (1)을 풀기 위해서는 어떻게 해야 할까요? 이러한 미분방정식을 풀기위해서 도입된것이 바로 전이행렬 (transition matrix) 입니다.
전이행렬의 정의
전이행렬 \mathbf{\Psi}(\tau,t)는 아래의 다섯가지 조건을 만족하는 행렬입니다.
\begin{equation} \frac{ \partial \mathbf{\Psi} (\tau, t) }{\partial \tau} = \mathbf{F}(\tau) \Psi (\tau,t) \end{equation} \begin{equation} \frac{ \partial \mathbf{\Psi} (\tau, t) }{\partial t} = -\Psi (\tau,t) \mathbf{F}(t) \end{equation} \begin{equation} \mathbf{\Psi} (\tau, t) = \mathbf{\Psi} (\tau, s)\mathbf{\Psi} (s, t)\end{equation} \begin{equation} \mathbf{\Psi} (\tau, t) = \mathbf{\Psi}^{-1} (t,\tau) \end{equation} \begin{equation} \mathbf{\Psi} (t, t) = \mathbf{I}\end{equation}전이행렬을 이용한 미분방정식 풀이
전이행렬을 이용하면 미분방정식을 풀 수 잇습니다. 아래와 같이 쓸수 있습니다. 전이행렬을 이용하면 미분방정식 (1)의 해를 아래와 같이 구할 수 있어요.
\mathbf{x} (t) = \mathbf{\Psi}(t,t_0) \mathbf{x}(t_0)도움이 되는 컨텐츠:
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