White noise process (백색잡음 프로세스)

White noise process (백색잡음)

노이즈를 표현하는 랜덤프로세스인 white noise process 에 대해 알아보자. 수학적으로 굉장히 쉽게 정의되어있으니 잘 따라오면 좋겠다.

White noise process 의 정의

White noise process 는 stochastic process \mathbf{w}(t) \in \mathbf{R}^d , t \geq t_0 인데 아래의 두 조건을 만족하는 \mathbf{w}(t) 를 의미한다.

  1. s \neq t 일 때 \mathbf{w}(t)\mathbf{w}(s) 는 독립이다.
  2. \mathbf{w}(t) 는 아래의 조건을 만족하는 가우시안 과정이다.
    1. E[ \mathbf{w}(t) ] = \mathbf{0}
    2. E\left[ \mathbf{w}(t) \mathbf{w}^T(s) \right] = \delta_{sj} \mathbf{Q}
      여기서 \mathbf{Q} 는 spectral density 라고 불리운다.

White noise 의 성질

  1. t \rightarrow \mathbf{w}(t) 는 확률적으로 almost everywhere discontinuous 하다
  2. \mathbf{w}(t) 는 unbounded 이고 어떤 유한 interval을 잡아도 unbounded하다.

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