White noise process (백색잡음)
노이즈를 표현하는 랜덤프로세스인 white noise process 에 대해 알아보자. 수학적으로 굉장히 쉽게 정의되어있으니 잘 따라오면 좋겠다.
White noise process 의 정의
White noise process 는 stochastic process \mathbf{w}(t) \in \mathbf{R}^d , t \geq t_0 인데 아래의 두 조건을 만족하는 \mathbf{w}(t) 를 의미한다.
- s \neq t 일 때 \mathbf{w}(t)와 \mathbf{w}(s) 는 독립이다.
- \mathbf{w}(t) 는 아래의 조건을 만족하는 가우시안 과정이다.
- E[ \mathbf{w}(t) ] = \mathbf{0}
- E\left[ \mathbf{w}(t) \mathbf{w}^T(s) \right] = \delta_{sj} \mathbf{Q}
여기서 \mathbf{Q} 는 spectral density 라고 불리운다.
White noise 의 성질
- t \rightarrow \mathbf{w}(t) 는 확률적으로 almost everywhere discontinuous 하다
- \mathbf{w}(t) 는 unbounded 이고 어떤 유한 interval을 잡아도 unbounded하다.