랜덤프로세스 $X_t$가 있을 때 WSS(Wide Sense Stationary) Process의 정의와 의미를 알아보도록 하자. Wide Sense Stationary 를 번역해보면 넓은 의미의 Stationary 라는 뜻이다. 그러면 Stationary Process의 의미는 무엇일까? 랜덤프로세스 $X_t$가 어느 시간에 놓여있던 간에 distribution 이 같다는 의미이다. 정의는 아래와 같다.
(Strict Sense) Stationary Process [SSS Process]
랜덤프로세스 $X_t$의 분포가 다음과 같을 때 $X_t$를 (Strict Sense) Stationary Process라 부른다.
$\displaystyle F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })=F_{X}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{n}})\quad {\text{for all }}\tau ,t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} {\text{ and for all }}n\in \mathbb {N} $
Stationary Process 라고 부르기도 하지만 WSS(Wide Sense Stationary) Process와 구분하기 위하여 SSS(Strict Sense Stationary) Process 라고도 부르는것 같다.
Process가 SSS라면 좋은 성질들이 있겠지만 SSS라는 너무 강한 조건이기 때문에 SSS보다 약한 조건의 WSS Process를 정의한다. SSS가 가진 성질중에는 밑에 두가지 성질이 있다.
SSS의 성질
1. $E[X_t]$는 시간 t에 의존하지 않는다. 즉 $m_x = E[X_t]$라고 표기할 수 있다.
2. Correlation 은 시간의 차이에만 의존한다. 즉 $R_x(\tau) = E[X_{t+\tau}X_t]$ 로 표기할 수 있다.
SSS보다 약한 조건을 갖는 프로세스를 정의하기 위하여 위에서 소개한 SSS의 성질 두가지를 이용해 WSS를 정의한다.
WSS(Wide Sense Stationary) Process 의 정의
랜덤 프로세스 $X_t$가 아래의 두 조건을 만족할 때 $X_t$를 WSS Process라고 부른다.
1. $E[X_t]$는 시간 t에 의존하지 않는다.
2. Correlation $E[X_{t+\tau}X_t]$는 시간의 차이인 $\tau$에만 의존한다.
위의 WSS가 되기위한 두 조건은 SSS인 프로세스가 갖고 있는 성질이다. 앞에서도 말했지만 WSS는 SSS의 조건을 약화시킨 넓은 의미로써의 Stationary Process 이다.