지난 글(WSS(Wide Sense Stationary)Process 의 정의와 의미)에서 어떤 랜덤프로세스 $X_t$가 WSS 프로세스라는 것의 의미를 살펴보았다. 생각을 좀 더 확장해서 WSS 프로세스인 $X_t$가 어떤 LTI(Linear Time Invariant) System을 지났을 때 출력인 $Y_t$는 WSS 프로세스 인지 궁금할 수 있다. 결론부터 말하면 Yes이다. 이번에는 WSS 프로세스가 LTI 시스템을 통과해도 WSS 프로세스임을 증명하도록 하겠다.
WSS가 LTI 를 통과해도 WSS 임을 증명
WSS 프로세스 $X_t$가 있다고 하자. 이 시스템이 impulse response가 $h(t)$인 LTI를 지나갔을 때 결과를 $Y_t$라고 하자. 이 때 $Y_t$가 WSS 프로세스임을 증명하자.
증명을 하기전에 LTI System의 특성으로 인해 $Y_t$는 $X_t$와 $h(t)$의 convolution 임을 기억하자.
$$Y_t = \int_{-\infty}^{\infty} h(\theta) X_{t-\theta} d\theta \tag{1}\label{1}$$
$Y_t$가 WSS Process임을 보이기 위해서 WSS process의 정의에 의해 다음을 보여야 한다.
1. $E[Y_t]$는 시간 $t$에 의존 하지 않는다.
2. Correlation $E[Y_{t+\tau}Y_t]$는 시점의 차이 $\tau$에만 의존한다.
증명 1) $E[Y_t]$는 시간 $t$에 의존 하지 않는다.
식 (\ref{1})에 의해
$$\begin{align}E[Y_t] &= \int_{-\infty}^{\infty} h(\theta) E[X_{t-\theta}] d\theta\\ &=m_x\int_{-\infty}^{\infty} h(\theta)\end{align}$$
두번째 줄에 $m_x$가 등장했는데 $E[X_t]$는 t에 의존하지 않는다라는 사실을 사용했다.
증명 2) Correlation $E[Y_{t+\tau}Y_t]$는 시점의 차이 $\tau$에만 의존한다.
식 (\ref{1})을 이용하면
$$E[Y_{t+\tau}Y_t] = \int_{-\infty}^{\infty} h(\alpha) \int_{-\infty}^{\infty} h(\beta) E[X_{t+\tau-\alpha} X_{t-\beta}] d\alpha d\beta =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} h(\beta) R_x(\tau-\alpha+\beta)d\beta d\alpha $$
여기서 $R_x(\tau-\alpha+\beta)$가 등장했는데 $X_t$가 WSS 프로세스이므로 $E[X_{t+\tau-\alpha}X_{t-\beta}]$는 두 시점의 차이 $\tau-\alpha + \beta$에만 의존한다는 의미해서 사용했다.
두가지 사실을 보였기에 $Y_t$는 WSS 프로세스이다.