유사역행렬(Pseudo Inverse)의 정의와 계산법

역행렬은 행렬이 정방행렬(Square Matrix)일때만 정의된다. 그런데 때때로 정방행렬이 아닌 행렬에 대해 역행렬과 비슷한 성질을 갖는 놈이 종종 필요하다. 다행이도 유사역행렬(Pseudo Inverse)이 있고 역행렬과 성질이 비슷하다. 이번 글에서는 유사역행렬이 무엇인지 알아보고 유사역행렬을 구하는 방법을 알아보자. 유사역행렬(Pseudo Inverse)란? 행렬 $A$의 유사역행렬 $A^+$는 다음의 성질을 만족하는 행렬이다. $AA^+A = A$ $A^+AA^+ = A+$ $(AA^+)^* = AA^+$ $(A^+A)^* = … Read more

[선형대수] symmetric positive semi definite matrix 의 quadratic form의 최대값과 최소값

symmetric positive semi definite matrix 의 quadratic form의 최대값과 최소값에 대해 알아보겠습니다. 결론부터 말씀드리면 symmetric postive semi definite matrix의 quadratic form 의 최대값은 이 행렬의 eigenvalue중 최대값이 되고 최소값은 이 행렬의 eigenvalue중 최소값이 됩니다. symmetric positive semi definite matrix의 quadratic form의 최대값과 최소값은 eigen value 행렬 $A$를 symmetric positive semi definite matrix 라고 합시다. 그러면 … Read more

determinant(행렬식) 의 미분

이번에는 행렬 $Y$를 미분하는 방법에 대해 알아보자. $Y$를 어떤 변수 $x$와 관련이 있다고 해보자. 그랬을 때 $Y$의 determinant 를 $x$에 대해 편미분을 하면 아래와 같은 식이 만족한다. $Y$의 행렬식에 대한 $x$의 편미분 $$\frac{\partial \det (Y) }{\partial x} = det ( Y) Tr\left[ Y^{-1} \frac{\partial Y}{\partial x} \right]$$ 출처-https://www.math.uwaterloo.ca/~hwolkowi/matrixcookbook.pdf

Matrix inversion lemma, Woodbury matrix identity 유용한 역행렬

Matrix inversion lemma 에 대하여 알아보겠습니다. Matrix inversion lemma 를 이용하면 멋진 결과들을 유도할 수 있습니다. 식 자체는 간단하니까 함 보도록 하죠. 참 그리고 Matrix inversion lemma 는 Woodbury matrix identity 라고도 불리웁니다. 자 그러면 Matrix inversion lemma 에 대해 보겠습니다. Matrix inversion lemma $$\left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}$$ 위와 같이 행렬의 곱과 합으로 이루어진 행렬의 역행렬을 구하는 식인데요. … Read more

단위 임펄스 응답 unit Impulse response 정의 및 의미

이번에는 단위 임펄스 응답 (unit impulse response)에 대해 알아보도록 하겠습니다. 단위 임펄스 함수에 대해는 알고계신가요?그리고 LTI 시스템에 대해 알고 계신가요? 단위 임펄스 응답은 단위 임펄스 함수와 단위 임펄스 응답과 관련있으니 단위 임펄스 함수 LTI 시스템에 대해 알고 계셔야합니다. 일단 단위 임펄스 함수와 LTI시스템에 대해 먼저 보고 오세요. 단위 임펄스 응답 (unit impulse response)의 정의 단위 … Read more

[선형대수]Matrix Inversion Lemma (Sherman-Morrison-Woodbury formula)

선형대수에 중요한 행렬공식중 하나인 Matrix Inversion Lemma (Sherman-Morrison-Woodbury formula)에 대해 알아보도록 하겠습니다. Matrix Inversion Lemma (Sherman-Morrison-Woodbury formula)는 군데 군데 잘 쓰이니까 알아두면 좋겠습니다. Matrix Inversion Lemma (Sherman-Morrison-Woodbury formula) 정사각행렬 가 있습니다. 그리고 또다른 정사각행렬 가 있습니다. 그리고 행렬 가 있다고 합시다. 행렬들의 사이즈에 대해 얘기 안했지만 행렬 연산 가 잘 정의된다고 합시다. 그럴 때 의 … Read more