Stochastic Differential Equation (SDE, 확률미분방정식)의 정의

Stochastic Differential Equation (SDE, 확률미분방정식) 에 대하여 알아보자.

Stochastic Differential Equation 에 대해 알아보겠습니다. Stochastic Differential Equation 은 물리적인 Dynamics 를 표현하는 식입니다. 천천히 알아보도록 하죠.

Stochastic Differential Equation (SDE, 확률미분방정식)의 휴리스틱한 정의

Stochastic Differential Equation 에 대한 휴리스틱한 정의에 대해 알아보겠습니다 \mathbf{x}(t) 를 우리가 관심있는 state 라고 합시다. t 에 대해 계속해서 변합니다. Stochastic Differential Equation 은 noise가 낀 dynamics 로써 생각할 수 있습니다. 아래와 같이요.

\begin{equation} \frac{d \mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x},t) + \mathbf{L}(\mathbf{x},t) \mathbf{\eta}(t) \end{equation}

여기서 \mathbf{f}(\mathbf{x},t), \mathbf{L}(x,t) 는 \mathbf{x}, t 에 대한 함수이고요. \mathbf{\eta}(t) 는 white noise 입니다. \mathbf{f}(\mathbf{x}, t) 라는 규칙 (drift) 항이고요 \mathbf{L} 는 노이즈에 관한 term 이죠. 위의 정의는 그럴듯하죠. 그런데 문제가 있습니다.

Stochastic Differential Equation (SDE, 확률미분방정식) Heuristic 한 정의가 가진 문제

식 (1)의 문제는 무엇일까요? 식 (1)에서 dt 를 곱하고 이것을 적분한다고 생각해보겠습니다.

\begin{equation} \mathbf{x}(t) - \mathbf{x}(t_0) = \int_{t_0}^t \mathbf{f}(\mathbf{x(s)}, s) ds + \int_{t_0}^t \mathbf{L}(\mathbf{x}(s), s) \mathbf{\eta}(s) ds \end{equation}

식 (2)에서 우변에 보면 첫번째 항은 웬만한 경우에 정의가 잘 됩니다. 그런데 말이죠. 두번째 term \int_{t_0}^t \mathbf{L}(\mathbf{x}(s), s) \mathbf{\eta}(s) ds 는 정의가 잘 되지 않습니다. 왜일까요 적분하려는 항중에 \mathbf{\eta}(t) 는 white noise이기 때문에 unbounded이고 불연속이죠. 따라서 적분이 안됩니다.

Stochastic Differential Equation (SDE, 확률미분방정식) 의 엄밀한 정의

위에서 언급했던 문제를 피하기 위해 white noise를 적분하는 대신 ito integral (이토적분)을 사용합니다. \int_{t_0}^t \mathbf{L}(\mathbf{x}(s), s) \mathbf{\eta}(s) ds대신 아래와 같이 이토적분을 사용합니다.

\begin{equation} \int_{t_0}^t \mathbf{L}(\mathbf{x}(s), s) d\mathbf{w}(s) ds \end{equation}

여기서 \mathbf{w}(t) 는 위너프로세스입니다. 식(3)을 식 (2)에 \int_{t_0}^t \mathbf{L}(\mathbf{x}(s), s) \mathbf{\eta}(s) ds 대신넣으면 아래와 같은 식이 만들어지죠.

\begin{equation} \mathbf{x}(t) - \mathbf{x}(t_0) = \int_{t_0}^t \mathbf{f}(\mathbf{x(s)}, s) ds + \int_{t_0}^t \mathbf{L}(\mathbf{x}(s), s) d\mathbf{w}(s) \end{equation}

그런데 우리는 이토적분을 공부하면서 기호를 줄여쓰는 방법을 알고 있습니다. 아래와 같이요.

\begin{equation} d \mathbf{x} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, t) dt + \mathbf{L}(\mathbf{x},t) d\mathbf{w} \end{equation}

식 (5)을 stochastic differential equation 이라고 부릅니다. 앞글자만 따서 간단하게 SDE라고 부릅니다. SDE는 노이즈가 낀 dynamics 라고 생각하시면 됩니다. 이렇게 stochastic differential equation 을 잘 정의 해 보왔습니다. 감사합니다.

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