확률론

    랜덤프로세스가 Wide Sense Stationary(WSS)라는 것의 의미는 이 글에서 알 수 있다.(Wide Sense Stationary(WSS) process, 넓은 의미의 안정성 프로세스의 의미) 랜덤프로세스는 어떤 신호의 입력이기도 하고 출력이기도 한데, 어떤 시스템의 입력이 WSS 프로세스면 출력은 어떻게 될까? 그 시스템이 LTI 시스템이라면? 이번 글에서는 LTI 시스템의 입력이 WSS 프로세스일 때 출력또한 WSS 프로세스임을 보이도록 하겠다. LTI 시스템의 … Read more

이항분포 b(n,p)는 성공 확률인 p인 베르누이 분포를 n번 실행했을 때 성공한 횟수를 모델링 하는 확률 분포이다. 이번 글에서는 이 이항분포의 분산을 구해보도록 하겠다. 이항 분포의 정체 이항 분포 b(n,p)에 해당하는 확률 변수를 X라고 하면 X는 서로 독립인 Bernoulli(p) 확률변수 n개의 합과 같다. 이 사실을 표현하면 아래와 같다. $$X = \sum_{i=1}^{n} X_i \text{ ,$X_i$는 독립인 Bernoulli(p)} … Read more

확률과 통계에서는 확률 변수 X를 분석하는 일을 많이 한다. 확률 변수 X를 분석하기 위해 X와 관련된 여러가지 기대값(Expectation)을 구하기도 한다. 대표적인 기대값으로는 X를 대표할 만한 평균(mean)이 있다. 그리고 이번 글에서 알게 될 분산(Variance)가 있다. 이번 글에서는 확률 변수 X의 분산의 정의를 알아보고 분산의 의미를 알아보도록 하자.   분산이란? 확률변수 X의 평균 $m=E[X]$라고 하자. 그러면 확률변수 … Read more

이번 글에서는 확률벡터(random vector)의 변수변환(change of variable)에 관해 알아보겠습니다. 확률벡터 $\mathbf{X}$가 있을 때 어떤 변환 $f$에 의해서 $\mathbf{Y}=f(\mathbf{X})$가 있다고 합시다. 이 때 $\mathbf{Y}$의 확률밀도함수(pdf: probability density function)를 구하는 데 유용한 것이 변수변환(change of variable)입니다. 이제 알아보겠습니다.   확률벡터(random vector)의 확률밀도함수(pdf: probability density function)에 관한 변수변환(change of variable) 이 글을 제대로 읽기 위해서는 아래글들을 먼저 읽고 … Read more

어떤 확률공간(probability space)를 분석하기 위해서는 random variable $X$의 성질을 보는 것으로 충분합니다. 기대값, 평균, 분산등을 구하는데 있어서 확률변수가 연속적이라면 확률 밀도 함수(probability density function, pdf)가 필요한데요. 이번 글에서는 확률 밀도 함수의 정의를 알아보고 의미와 쓰임새를 알아보도록 합시다.   확률 밀도 함수(pdf)의 정의 연속인 확률변수 $X$가 있다고 하자. $X$의 pdf $f_X(x)$는 다음을 만족하는 함수이다. 조건1. $f(x) … Read more

확률과 통계를 공부하면서 확률밀도(Probability Mass Function)은 정말 자주 만나는 친구이다. 확률밀도를 이용하면 평균, 분산 그 이외의 기대값들을 계산 해 낼 수 있기 때문이다. 너무나 익숙해진 나머지 생각없이 사용하는데 확률밀도 함수가 무엇인지 한번 알아보도록 하자.   확률밀도함수(Probability Mass Function)의 정의 확률밀도함수(Probability Mass Function)는 이산확률변수(Discrete Random Variable)에 대해 정의 된다. 이산확률변수 $X$가 어떤 값을 어떤 확률로 갖게 … Read more

확률변수는 특정 분포를 따른다. 확률변수를 통해 정보를 나타내고 어떤 정보를 나타내는 냐에 따라서 분포가 달라진다. 이번 글에서는 기하분포가 무엇인지 알아보고 기하분포의 확률밀도함수에 대해서 알아보자. 기하분포의 정의 기하분포는 어떤 베르누이 시행을 했을 때 성공할 때 까지 시도횟수를 의미한다. 따라서 가질 수 있는 값은 0,1,2,.. 등 0보다 크거나 같은 정수들이다.   기하분포의 확률밀도함수(pmf) 기하분포를 따르는 확률변수 $X$의 … Read more

기하분포를 이용하여 베르누이 시행에서 성공이 나올때까지 실패한 를 모델링 할 수 있다. 기하분포의 확률밀도함수()에 대해서는 알아봤었고 평균에 대해서도 이글()에서 알 수 있다. 이번 글에서는 기하 분포의 분산을 구해보도록 하자.!   기하분포의 분산 구하기 기하분포의 분산을 구해보도록 하자. 이산확률변수인 기하분포 확률변수와 관련된 함수의 기대값을 구하기 위해서는 확률밀도함수를 알아야 한다. 기하분포의 확률밀도함수   $$p_X(k) = p(1-p)^k , … Read more

확률변수 $X$는 우리가 알고 싶은 정보를 숫자로 표현한 것이다. 숫자이기 때문에 여러 계산이 가능하다. 의미있는 계산을 해야 되는데 그중에서 의미있는 것은 바로 기대값(Expectation)이다. 기대값의 의미는 이 확률변수가 평균적으로 어떤 값을 갖냐라는 것을 의미한다.    확률변수의 기대값 정의 확률변수 $X : (\Omega, A , P) \to \mathbb{R}$가 정의되어 있을 때 확률변수 $X$의 기대값은 다음과 같이 정의한다. … Read more

이번 글에서는 Strict sense Stationary Process에 대해 알아보겠다. 이 전 글에서 Wide Sense Stationary Process에 대해 알아보았다. 이번에는 WSS보다 강한 조건을 갖고 있는 Strict Sense Stationary process(SSS)에 대해 알아보도록 하자.  Strict sense stationary process(SSS process)의 정의 다음의 조건을 만족할 때 랜덤프로세스 $X[n]$은 Strict sense stationary process(SSS process)라고 불린다. 모든 $\tau$에 대하여 $$P(X[\tau + n_1], X[\tau … Read more