Doob’s h-transform을 이용한 markov process

Doob’s h-transform을 이용한 markov process에 대해 알아보자. SDE로 표현되는 stochastic process 가 있다고 하자. 그리고 에 대한 conditional density를 라고 표현하자. 그리고 에 대한 Doob’s h-transform을 라고 하자. 이 를 이용해서 새로운 transition kernel을 만들 수 있다. Doob’s h-transform을 이용한 transition kernel 위와 같이 h를 이용해서 라고 만들수 있습니다. 실제로 probability density가 되고 이것을 이용해서 … Read more

Doob’s h-transform이란 무엇일까?

Doob’s h-transform이란 무엇일까? Stochastic Differential Equation 가 있다고 하자. time 에 대한 의 conditional probability density (혹은 transition density를)아래와 같이 표시하자. Doob’s h-transform 정의 Doob’s h-transform은 기호는 라고 쓰는데 아래의 함수로써 정의된다.

[논문공부 Diffusion Schrödinger Bridge Matching] Markov Projection의 의미와 특징

Markov Projection의 의미와 특징에 대해 알아보자. Markov Projection이란? 를 각각 주어진 distribution이라 하자. 를 아래의 SDE를 따르는 markov measure라 하자. 그리고 를 mixture of bridge라고 하자. 이다. 그럴 때 아래의 SDE를 따르는 markov measure를 의 Markov projection이라 부르고 기호로는 이라고 쓴다. Markov Projection의 특징 Markov Projection의 특징에 대해 알아보자. 유클리디안 공간에서 projection은 거리가 가장 짧게 … Read more

Bayesian MMSE (Bayesian Minimum Mean Squared Error) Estimator, 베이지안 최소제곱 오차 추정기

베이지안 MMSE estimator 에 대해 알아봅시다. Bayesian MMSE는 풀네임으로 Bayesian Minimum Mean Square Error estimator 입니다. Bayesian MMSE Estimator Bayesian MMMSE estimator 를 알려면, Bayesian MSE를 알아야 합니다.  Bayesian MSE는 아래와 같이 표현됩니다. $$BMSE = E[ (\hat{\theta}(X) – \theta)^2] = \int \int (\hat{\theta}(X) – \theta)^2 p(x \mid \theta) dx p(\theta)d\theta$$ 위의 식을 최소로 하는 추정치 … Read more

(조건부 평균)Conditional Expectation 의 엄밀한 정의

확률론에서 Conditional Expectation 은 굉장히 중요한 개념이다. 한국말로 하면은 조건부 평균 정도로 번역가능하다. 어떤 조건이 주어졌을 때 평균을 구한다는 의미라고 보면 되겠다. 계산을 위해 사용하는 Conditional Expectation 의 정의는 널리 알려져 있으니 생략하고 수학적으로 엄밀한 정의를 알아보자.   Conditional Expectation 의 정의 $X : \Omega \to \mathbb{R}$를 랜덤변수(Random Variable)이라고 하자. $\mathcal{F}$를 $\Omega$의 subset들로 구성된 $\sigma$-field … Read more

랜덤 프로세스 Expected Average Power, Expected Instaneous Power 의 정의와 의미

랜덤 프로세스 $X_t$는 하나의 신호(signal)이다. 이 신호를 보내거나 받거나 할때 이 신호가 가진 전력(Power)이 중요한 요소이다. 전력이 크다는 것은 신호를 보낼 때 단위시간 당 더 많은 에너지가 필요하다고 해석할 수 있다. 신호의 Power를 구하는 방법에는 두가지가 있는데 그 정의를 소개하겠다.   Expected Average Power의 정의 $X_t$의 Expected Average Power(평균 기대 전력)은 다음과 같다. $$P_X = … Read more

WSS(Wide Sense Stationary)Process 의 정의와 의미

랜덤프로세스 $X_t$가 있을 때 WSS(Wide Sense Stationary) Process의 정의와 의미를 알아보도록 하자. Wide Sense Stationary 를 번역해보면 넓은 의미의 Stationary 라는 뜻이다. 그러면 Stationary Process의 의미는 무엇일까? 랜덤프로세스 $X_t$가 어느 시간에 놓여있던 간에 distribution 이 같다는 의미이다. 정의는 아래와 같다.   (Strict Sense) Stationary Process [SSS Process] 랜덤프로세스 $X_t$의 분포가 다음과 같을 때 $X_t$를 (Strict … Read more

stationary distribution(정상분포)의 정의

$X_n$가 markov process라고 하자. 그리고 $X_n$이 가질 수 있는 값은 이산적이라고 하자. 그러면 $X_n$의 움직임을 볼 수 있는 전이행렬 $P$이 존재한다. 이 전이행렬을 가지고 $X_n$에서 $X_{n+1}$로 변할 확률을 구할 수 있다.  $$P_{ij} = P(X_{n+1} = j | X_{n} = i)$$   이렇듯 마코브 프로세스는 전이행렬을 가지고 표현이 가능하다. 그런데! $P(X_n =j)$처럼 $X_n$의 분포는 어떻게 구할 … Read more

다차원 가우시안 분포에 대한 이해

다차원 가우시안 분포의 개념 다차원 가우시안 분포는 여러 변수들이 서로 상호작용하며 이루는 분포를 설명합니다. 예를 들어, 확률벡터 X= (X1,…,Xn)가 다차원 가우시안 분포를 따른다고 할 때, 이는 X의 모든 부분 집합이 가우시안 분포를 따른다는 의미입니다. 특징과 중요성 다차원 가우시안 분포의 이해는 복잡한 데이터 구조를 분석하고 이해하는 데 매우 중요합니다. 예를 들어, 금융 시장에서 다양한 자산의 수익률은 … Read more

랜덤 프로세스 이해하기: 연속시간과 이산시간 확률과정의 기초

안녕하세요, 오늘은 랜덤 프로세스에 대해 알아보는 시간을 갖도록 하겠습니다. 랜덤 프로세스, 또는 확률과정은 수학과 통계학에서 매우 중요한 개념입니다. 이 개념은 다양한 분야에서, 특히 금융, 엔지니어링, 과학 연구에서 중요한 역할을 합니다. 랜덤 프로세스의 개념 랜덤 프로세스(확률과정)는 시간에 따라 변화하는 랜덤한 변수들의 집합을 의미합니다. 쉽게 말해, 시간이 흐름에 따라 그 결과가 불확실한 어떤 과정을 말합니다. 예를 들어, … Read more