condition이 있을 때 Brownian motion의 log probability density function의 미분

condition이 있을 때 Brownian motion의 log probability density function의 미분에 대해 알아보자. 아래 글 부터 읽고 오자 condition이 있을 때 Brownian motion의 log probability density function 가 variance가 인 Brownian motion이라고 하자. 그리고 라고 하자. 가 주어질 때 의 log probability density function은 아래와 같다. 위의 식을 , 각각에 대해 미분하면 아래와 같이 된다.

condition이 있을 때 Brownian motion의 log probability density function

condition이 있을 때 Brownian motion의 log probability density function에 대해 알아보자. 읽기전에 아래 글을 보고 오는 것을 추천한다. 시작점 condition이 있을 때 Brownian motion의 probability density function (pdf) 가 variance가 이 Brownian motion일 때 일 때 아래와 같이 conditional probability density function이 나온다. 위의 식에다 log를 붙혀주자.

시작점 condition이 있을 때 Brownian motion의 probability density function (pdf)

시작점 condition이 있을 때 Brownian motion의 probability density function (pdf)에 대해 알아보자. 시작하기 전에 아래 글을 보자. 아래 글의 노테이션 그대로 쓸 예정이다. condition 있을 때 Brownian motion 일 때 가 주어진다면 는 이다. 따라서 에서 state가 주어질 때 에서의 conditonal probability density function은 아래와 같다.

condition 있을 때 Brownian motion

실수 1차원 공간에서 Brownian motion 가 있다고 하자. variance를 나타내기 위해 특별히 아래와 같이 SDE 형태로 표현하자. 위에서 는 variance가 1인 Brownian motion을 의미한다. 그리고 라고 하자. 이 때 이 주어질 때 는 어떤지 보자. 식 (1)에 의해 는 아래와 같이 표현된다. 의 성질에 따라 아래의 는 가우시안 분포를 따른다.  

Linear SDE (Stochastic Differential Equation) 선형확률미분방정식

Linear SDE (Stochastic Differential Equation) 선형확률미분방정식에 대해 알아보자. 확률미분방정식에 대해서는 아래 글에서 먼저 읽어오자. SDE(Stochastic Differential Equation)를 활용한 Diffusion model에 대하여 Brownian Bridge의 SDE의 conditional distribution Flow matching을 SDE로 해석해서 diffusion, drift term 구하기 역시간 확률미분 방정식Reverse-time SDE (Stochastic Differential Equaiton) Infinitesimal generator 정리 [확률미분방정식(SDE: Stochastic DIfferential Equation)] [확률미분방정식] SDE (Stochastic Differential Equation) 기호 정리 … Read more

Optimal transport Kantorivich’s formulation

measurable space 가 있고 이 위에 각각의 probability measure 가 있다고 하자. 는 costfunction이라 하자. 는 에 대한 coupling의 모임이라고 하자. Kantorovich’s formulation은 아래와 같이 cost의 expectation을 짝게 하는 coupling 를 찾는 문제이다.

Distribution의 coupling이란?

Distribution의 coupling이란? 두개의 probability space가 있다고 하고 X와 Y의 각각의 probability measure를 라고 하자. product space인 를 생각하자. 와 각각의 measure 에 대한 coupling 은 아래와 같이 각각의 marginal이 를 만족하는 위에 정의된 probability measure이다.

Optimal transport Monge’s formulation

Optimal transport를 서술하는 방식은 여러개인데 이번에는 Monge’s formulation에 대해 알아보자. 를 probability space라고 하고 각각 probability measure 가 정의 되었다고 하자. 를 cost function이라고 하자. Monge가 기술한 optimal transport problem은 아래와 같이 cost를 작게 하는 Transformation 를 찾는것이다.

optimal transport에서 cost function (비용함수)

optimal transport에서 cost function (비용함수)에 대해 알아보자. 두개의 measurable space 가 있다고 하자. 여기서 는 집합이고 각각 위에 정의된 sigma algebra 이다. 자연스럽게 measruable space 를 정의할 수 있다. 여기서 는 product of sigma algebra 이다. 이제 cost function을 정의하자. cost function은 measurable function 를 의미한다. Cost function measurable function