우리가 일상에서 접하는 다양한 문제들은 종종 복잡하고 얽힌 구조를 가지고 있습니다. 하지만 수학은 이런 복잡성 속에서도 간결한 질서와 패턴을 발견할 수 있는 훌륭한 도구입니다. 최근 연구들은 특히 그래프 이론을 통해 어떻게 지역적 특성들이 전체 구조를 결정할 수 있는지를 보여줍니다. 이 블로그 글에서는 이러한 수학적 발견과 그 의미에 대해 탐구해보겠습니다. 그래프 이론의 기본 그래프 이론은 정점(vertex)과 … Read more
빅 데이터와 그래프 이론의 새로운 지평: 하이퍼그래프에서 심플리셜 복합체까지 빅 데이터의 시대는 우리가 정보를 이해하고 분석하는 방식을 근본적으로 변화시켰습니다. 이 글에서는 빅 데이터가 그래프 이론을 어떻게 새로운 차원으로 이끌었는지를 탐구합니다. 그래프 이론은 정점(vertex)과 간선(edge)을 사용하여 데이터 간의 연결성을 모델링하는 수학의 한 분야입니다. 이는 정보의 복잡한 구조를 단순화하여 이해할 수 있게 해줍니다. 전통적 그래프 이론의 한계 … Read more
여기서부터 입력이번 글에서는 Duhamel’s theorem (두하멜의 정리)에 대해 알아보겠습니다. 두하멜의 정리는 boundary condition이 주어진 편미분방정식을 풀 때 사용하기 좋은 정리입니다. 두하멜의 정리를 이용하면 시간 $t$에 의존하는 boundary condition이 주어질 때의 편미분방정식을 풀 수 있습니다. Duhamel’s theorem 써먹을 수 있게 유도하기 시간에 의존하는 nonhomogeneous boundary condition 을 갖고, 하나의 homogeneous boundary condition 을 갖는 영역 $R$에서 … Read more
이제부터 secant method (할선법)에 대하여 알아보겠습니다. secant method는 지난 글에서 알려드린 bisection method(단일 비선형 방정식의 해와 Bisection method)의 단점을 보완할 수 도있는 방법입니다.이번글에서는 bisection method의 단점을 알아본후에 secant method에 대해 알아보겠습니다. Secant method (할선법) bisection method에 단점에 대해 알아보자. 오차를 좀더 줄이기 위해서는 좀더 많은 iteration 이 필요하다. 즉 convergence speed가 굉장히 느리다는 얘기이다. 예를들어 … Read more
지난번까지는 shooting method에 대해 봤다. (비선형 문제들(Nonlinear problems) 과 shooting 방법). shooting method에서는 하나의 parameter에 과한한 방식이다. 그리고 아래의 비선형미분방정식의 해를 찾는 방식이다. $$f(x) = 0$$ 비선형 방정식을 풀기위해 사용되는 implicit 방법들이 있었다. scientific computing 의 많은 분야에서 방정식 문제는 어떠한 비선형 방정식의 해를 찾는것으로 결부되었다. 이것에 대해서는 차차 알아보겠다. 지금 이 글에서는 single variable를 … Read more
여기서부터 입력지금부터는 비선형문제들 (nonlinear problems)과 이것의 해 (solution)에 대해 알아보겠습니다. 자연계에 존재하는 물리 현상들은 미분방정식으로 표현되곤 합니다. 그런데 대부분의 미분방정식은 비선형미분방정식입니다. 이 글에서는 비선형미분방정식을 푸는 방법에 대해 알아보겠습니다. 비선형 문제들(Nonlinear)과 Shooting에 대하여 아래와 같은 미분방정식이 있다고 합시다. 여기서 $x$는 독립변수입니다. 그리고 $v$는 $x$에 관한 함수인데요. 아래의 미분방정식에서 주목할점은 각각의 coefficient $b,c$가 독립변수 $x$와 종속변수 … Read more
이번 글에서는 eigenvalue problem에 대해서 알아보겠습니다. 한글로 번역하면 고유값 문제인데요. 고윳값 문제가 무엇인지 먼저 알아보겠습니다. 그런후에는 고윳값 문제의 종류에 대해서 알아보겠습니다. 그러면 이제는 eigenvalue problem에 대해 알아보도록 하겠습니다. Eigenvalue problem eigenvalue problem의 numerical solution 을 고려해보겠다. 이러한 문제는 공학, 물리학, 화학, 경제학 그리고 통계학등에서 많이 보인다. 다른 분야에서도 많이 보인다. 이 글과 다음에 이어질 … Read more
어김없이 돌아온 그래프이론글이다. 이번에는 Cartesian product, grid, greedy coloring, interval representation등에 대해 알아보겠다. Cartesian product, grid, greedy coloring, interval representation는 쉬운개념들이니까 이해하기 쉬울것이다. Cartesian Product 그래프 그래프 $G$와 $H$가 있따고 합시다. $G$와 $H$의 cartesian product는 기호로는 $G\square H$라고 씁니다. $G\square H$는 vertex set이 $V(G) \times V(H)$입니다. $E(G) $는 어떻게 정의될까요? $(u,v)$와 $(u^\prime, v^\prime)$이 있다고 합시다. … Read more
이번 글에서는 그래프이론의 clique number에 대해 알아보자. 그리고 지난 글에서 chromatic number에 대해 얘기하였었는데 chromatic number와 clique number의 관계에 대해서도 알아보자. 참 재밌는 결과들이 있으니까 clique number와 chromatic number의 관계를 꼭 알아보도록 하자. 그러면 이제 시작해보자. clique number 그래프 $G$가 있다고 하자. clique number의 기호는 $\omega(G)$라고 하겠다. 그래프 $G$에 pairwise하게 adjacent vertices 들로 구성된 … Read more
여기서부터 입력그래프 (Graph)가 있다고 하고 이것을 색칠할려고 한다. 그래프 얘기를 시작하기전에 지도를 생각해보자. 지도에 여러 도시가 있을 때 이 도시들을 색칠하고 싶은데 서로 이웃하는 도시는 서로 다른 색으로 칠할려고 한다. 생각해보면 쉬우면서도 어려운데 이것을 수학적으로 추상화시키면 그래프가 있고 각각의 도시를 vertex로 설정하고 이웃한다는것을 edge로 표현한담에 adjacent 한 vertex들은 다른 색으로 칠하면 되는 문제이다. 이번 글에서는 … Read more