다차원 가우시안 분포에 대한 이해

다차원 가우시안 분포의 개념 다차원 가우시안 분포는 여러 변수들이 서로 상호작용하며 이루는 분포를 설명합니다. 예를 들어, 확률벡터 X= (X1,…,Xn)가 다차원 가우시안 분포를 따른다고 할 때, 이는 X의 모든 부분 집합이 가우시안 분포를 따른다는 의미입니다. 특징과 중요성 다차원 가우시안 분포의 이해는 복잡한 데이터 구조를 분석하고 이해하는 데 매우 중요합니다. 예를 들어, 금융 시장에서 다양한 자산의 수익률은 … Read more

고유 벡터와 고유값의 이해: 선형대수의 핵심 개념 탐구

선형대수는 수학의 여러 분야 중에서도 특히 중요한 역할을 하는 분야입니다. 이 글에서는 선형대수의 핵심 개념 중 하나인 ‘고유 벡터(Eigen Vector)’와 ‘고유값(Eigen Value)’에 대해 자세히 알아보겠습니다. 고유 벡터의 정의 고유 벡터는 특정 조건을 만족하는 벡터를 의미합니다. 이를 이해하기 위해서는 정사각 행렬 A (사이즈 n X n)를 떠올릴 필요가 있습니다. 이 행렬 A의 고유 벡터는 다음과 같은 … Read more

랜덤 프로세스 이해하기: 연속시간과 이산시간 확률과정의 기초

안녕하세요, 오늘은 랜덤 프로세스에 대해 알아보는 시간을 갖도록 하겠습니다. 랜덤 프로세스, 또는 확률과정은 수학과 통계학에서 매우 중요한 개념입니다. 이 개념은 다양한 분야에서, 특히 금융, 엔지니어링, 과학 연구에서 중요한 역할을 합니다. 랜덤 프로세스의 개념 랜덤 프로세스(확률과정)는 시간에 따라 변화하는 랜덤한 변수들의 집합을 의미합니다. 쉽게 말해, 시간이 흐름에 따라 그 결과가 불확실한 어떤 과정을 말합니다. 예를 들어, … Read more

정규분포와 평균의 이해와 평균의 중요성

가우시안 분포, 더 널리 알려진 정규분포는 통계학의 근간을 이루는 중요한 개념입니다. 이 분포는 자연 현상, 사회 현상, 심지어 금융 시장에서도 흔히 관찰될 수 있습니다. 그 중요성으로 인해, 정규분포의 확률밀도함수(pdf)는 기본적인 통계 지식으로 여겨집니다. 정규분포의 특징은 그 형태가 평균(mean)과 분산(variance)에 의해 결정된다는 점입니다. 이 글에서는 정규분포의 평균을 구하는 방법에 초점을 맞추겠습니다. 표준정규분포의 평균 구하기 정규분포의 평균을 … Read more

Convergence in Distribution: 확률변수 수열의 분포 수렴 이해하기

서론: 확률변수와 그 수열의 중요성 확률변수는 불확실한 사건의 결과를 수치적으로 표현하는데 사용됩니다. 이러한 확률변수들의 수열, 즉 Xn,는 많은 과학적 및 엔지니어링 분야에서 발견되며, 이들의 행동을 이해하는 것은 예측 모델링과 의사결정 과정에서 중요합니다. 분포수렴(Convergence in Distribution)의 정의 분포수렴은 확률변수 수열 Xn이 어떻게 변화하는지를 나타내는 통계적 개념입니다. 구체적으로, 분포수렴은 이러한 수열이 다른 확률변수의 분포에 점점 가까워질 때 … Read more

수학의 아름다움: 지역적 특성으로 글로벌 구조 이해하기

우리가 일상에서 접하는 다양한 문제들은 종종 복잡하고 얽힌 구조를 가지고 있습니다. 하지만 수학은 이런 복잡성 속에서도 간결한 질서와 패턴을 발견할 수 있는 훌륭한 도구입니다. 최근 연구들은 특히 그래프 이론을 통해 어떻게 지역적 특성들이 전체 구조를 결정할 수 있는지를 보여줍니다. 이 블로그 글에서는 이러한 수학적 발견과 그 의미에 대해 탐구해보겠습니다. 그래프 이론의 기본 그래프 이론은 정점(vertex)과 … Read more

빅 데이터와 그래프 이론의 새로운 지평

빅 데이터와 그래프 이론의 새로운 지평: 하이퍼그래프에서 심플리셜 복합체까지 빅 데이터의 시대는 우리가 정보를 이해하고 분석하는 방식을 근본적으로 변화시켰습니다. 이 글에서는 빅 데이터가 그래프 이론을 어떻게 새로운 차원으로 이끌었는지를 탐구합니다. 그래프 이론은 정점(vertex)과 간선(edge)을 사용하여 데이터 간의 연결성을 모델링하는 수학의 한 분야입니다. 이는 정보의 복잡한 구조를 단순화하여 이해할 수 있게 해줍니다. 전통적 그래프 이론의 한계 … Read more

Duhamel’s theorem (두하멜의 정리) 사용방법

여기서부터 입력이번 글에서는 Duhamel’s theorem (두하멜의 정리)에 대해 알아보겠습니다. 두하멜의 정리는 boundary condition이 주어진 편미분방정식을 풀 때 사용하기 좋은 정리입니다. 두하멜의 정리를 이용하면 시간 $t$에 의존하는 boundary condition이 주어질 때의 편미분방정식을 풀 수 있습니다. Duhamel’s theorem 써먹을 수 있게 유도하기 시간에 의존하는 nonhomogeneous boundary condition 을 갖고, 하나의 homogeneous boundary condition 을 갖는 영역 $R$에서 … Read more

Secant method (할선법)에 대하여

이제부터 secant method (할선법)에 대하여 알아보겠습니다. secant method는 지난 글에서 알려드린 bisection method(단일 비선형 방정식의 해와 Bisection method)의 단점을 보완할 수 도있는 방법입니다.이번글에서는 bisection method의 단점을 알아본후에 secant method에 대해 알아보겠습니다. Secant method (할선법) bisection method에 단점에 대해 알아보자. 오차를 좀더 줄이기 위해서는 좀더 많은 iteration 이 필요하다. 즉 convergence speed가 굉장히 느리다는 얘기이다. 예를들어 … Read more

단일 비선형 방정식의 해와 Bisection method

지난번까지는 shooting method에 대해 봤다. (비선형 문제들(Nonlinear problems) 과 shooting 방법). shooting method에서는 하나의 parameter에 과한한 방식이다. 그리고 아래의 비선형미분방정식의 해를 찾는 방식이다. $$f(x) = 0$$ 비선형 방정식을 풀기위해 사용되는 implicit 방법들이 있었다. scientific computing 의 많은 분야에서 방정식 문제는 어떠한 비선형 방정식의 해를 찾는것으로 결부되었다. 이것에 대해서는 차차 알아보겠다. 지금 이 글에서는 single variable를 … Read more