Seongq

C[a,b] continuous function의 모음에 대해 알아보자. 를 경우에 따라 라고도 쓴다.

measurable space 가 있고 이 위에 각각의 probability measure 가 있다고 하자. 는 costfunction이라 하자. 는 에 대한 coupling의 모임이라고 하자. Kantorovich’s formulation은 아래와 같이 cost의 expectation을 짝게 하는 coupling 를 찾는 문제이다.

Distribution의 coupling이란? 두개의 probability space가 있다고 하고 X와 Y의 각각의 probability measure를 라고 하자. product space인 를 생각하자. 와 각각의 measure 에 대한 coupling 은 아래와 같이 각각의 marginal이 를 만족하는 위에 정의된 probability measure이다.

Optimal transport를 서술하는 방식은 여러개인데 이번에는 Monge’s formulation에 대해 알아보자. 를 probability space라고 하고 각각 probability measure 가 정의 되었다고 하자. 를 cost function이라고 하자. Monge가 기술한 optimal transport problem은 아래와 같이 cost를 작게 하는 Transformation 를 찾는것이다.

optimal transport에서 cost function (비용함수)에 대해 알아보자. 두개의 measurable space 가 있다고 하자. 여기서 는 집합이고 각각 위에 정의된 sigma algebra 이다. 자연스럽게 measruable space 를 정의할 수 있다. 여기서 는 product of sigma algebra 이다. 이제 cost function을 정의하자. cost function은 measurable function 를 의미한다. Cost function measurable function