확률미분방정식(stochastic differential equation)에 대한 내용 알아보겠습니다.
역시간 확률미분 방정식에 대해 알아보자. 영어로는 Reverse-time SDE 라고 한다. Reverse-time SDE를 알기 위해서는 정방향 시간에 대해 정의된 Forward-time SDE에 대해 알아야 한다. Forward-time SDE 위와 같은 방정식을 Forward-time SDE라고 한다. 다른 방식으로는 아래와 같이 쓴다. $$ d\mathbf{x} = \mathbf{f}(\mathbf{x},t) dt + \mathbf{G}(\mathbf{x},t) d \mathbf{w}$$ 위 두식은 시간이 0에서 T로 갈때의 변화를 의미한다. T에서 0으로 … Read more
기하 브라운 운동 (geometric brownian motion) 모델에 대해서 알아보자. 줄여서 GBM 모델이라고 한다. 블랙 숄즈 모형 (Black-Scholes model)에서 자산 가격의 변화를 나타내는데 쓰이곤 한다. 이번 글에서는 기하 브라운 운동 줄여서 GBM (Geometric Brownian Motion)에 대해 수식으로 쓰고 분석해보도록 하자. GBM 이란? stochastic process $X_t$가 아래와 같은 SDE로 표현하는 모형을 GBM 이라고 한다. $$dx = \mu x dt + \sigma x dw$$ 해석을 해보면 $x$의 변화량은 $x$와 $\mu$의 곱에 대해 결정나는데, $\sigma x$만큼의 변동성이 있다는 … Read more
이번 글에서는 확률미분방정식의 topic중 하나인 Kolmogorov’s Backward Equation 에 대해 알아보겠습니다. Kolmogorov’s Backward Equation 은 어떤 Diffusion process에 대한 Expectation 을 편미분 방정식 꼴로 나타내는 방식입니다. 역으로 Kolmogorov’s Backward Equation 을 만족하는 함수가 있다면 이 함수를 Diffusion process에 대해 정의된 Expectation으로써 정의 가능합니다. 이제 글을 시작해보겠습니다. Kolmogorov’s Backward Equation 에 대해 알아보자 Kolmogorov’s Backward Equation … Read more
Infinitesimal generator에 대해 알아보겠습니다. 말그대로 아주 조그만 부분(infinitesimal)에서 generator(생성자)라는 뜻인데요. 이것이 무엇을 의미하는 것일까요? Infinitesimal generator 를 이해하기 위해 필요한 것들과 Inifinitesimal generator 의 정의에 대해 알아보도록 하겠습니다. 어렵지 않은 내용이니 따라와 주세요 Infinitesimal generator 대하여 Infinitesimal generator에 대해 알아보겠습니다. 확률미분방정식 (SDE: Stochastic Differential Equation)을 해석하는데 있어서 중요한 역할을 하는 친구입니다. Infinitesimal generator에 대해 한번 … Read more
이토 확산 (Ito Diffusion)에 대해 알아보도록 하겠습니다. 이토 확산 (Ito Diffusion)은 stochastic process의 일종입니다. 이토 확산(Ito diffusion)은 다양한 성질들을 만족하는데요. 이 다양한 성질들을 만족함으로써 자연계에 존재하는 Diffusion 이라는 것을 해석하기 수월해졌습니다. 그러면 이 이토확산(Ito Diffusion)이 무엇인지 찬찬히 살펴 보겠습니다. 이토 확산 (Ito Diffusion)설명해 보겠습니다. 자 본격적으로 이토 확산에 대해 설명해보겠습니다. 제가 작성하는 글은 여러 유튜브와 … Read more
확률미분방정식 (Stochastic Differential Equation) 줄여서 SDE에 대해 알아보겠습니다. 확률미분방정식 (Stochastic DIfferential Equation)은 noise 가 낀 dynamics 를 표현하는데 유용하게 사용되는 친구입니다. 이미 응용분야는 많이 있습니다. 최근에는 생성모델에서 많이 사용되고 있죠. Stochastic Differential Equation의 기호에 대해 알아보겠습니다. 확률미분방정식(Stochastic Differential Equation) SDE에 대해 알아보자 Stochastic Differential Equation 에 대해 알아보겠습니다. 일단 확률미분방정식에 대한 글과 영상을 많습니다. 아래의 … Read more
확률미분방정식(SDE: Stochastic Differential Equation)을 이용한 Continuous time state space model에 대해 알아보자. 확률미분방정식은 어떤 물리적인 dynamics 를 표현하기 위해서 탄생한 녀석이죠. 이번 글에서는 확률미분방정식(SDE: Stochastic Differential Equations)을 이용하여 실제 sensor로 받게되는 측정값과 물리적인 상태에 대한 dynamics 를 표현해보도록 하겠습니다. 이 글을 읽기전에 SDE에 대해 궁금하신 분들은 SDE에 대한 글을 꼭 보고 오세요. 전문용어를 활용하면 Stochastic … Read more
Fokker Planck Kolmogorov equation, 포커 플랑크 콜모고로프 방정식에 대해 알아보겠습니다. 안녕하세요. 이번글에서는 Fokekr Planck Kolmogorov equation 에 대해 알아보겠습니다. 한글로 하며는 포커 플랑크 콜모고로프 방정식이겠네요. Fokker Planck Kolmogorov equation 이 무슨 목적으로 나왓는지 그리고 무엇인지 알아보도록 하겠습니다. 이번 글은 짧고 쉽다면 쉬우니까 한번 따라와 주세요. Fokker Planck Kolmogorov equation 의 포커 플랑크 콜모고로프 방정식 의미 … Read more
Score-Based Generative Modeling through Stochastic Differential Equations 에 대해 리뷰해보겠습니다. 이번 글에서는 논문 “Score-Based Generative Modeling through Stochastic Differential Equations“에 대해 리뷰해보겠습니다. 이 논문은 확률미분방정식(Stochastic Differential Equation 이하 SDE)를 이용해서 데이터 샘플에 perturbation 을 주는 과정을 정의하고 그 반대과정인 perturbation 을 걷어내는 과정을 학습하는 방법을 제시하였습니다. 사실 이 논문에 대해서는 많은 리뷰들이 있습니다. 찾아보니 좋은 … Read more
Stratonovich Integral 에 대해 알아보겠습니다. 지난 글들에서 Ito integral (이토적분)에 대해 알아보았습니다. 이토적분을 보다보면 한가지 의문이 생깁니다. stochastic process 와 위너프로세스 (Wiener process) 에 대하여 이토적분을 아래와 같이 파티션을 쪼개서 합으로 나타내는데요. 잘 보면 에서 에는 partition 의 왼쪽 점인 만 들어간다는 점입니다. 왜 하필 사이의 점중 왼쪽 끝점만 고르는지 의문인데요. 사실은 사이의 아무점인 를 … Read more