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Product of sigmal algebra, 시그마 대수의 곱에 대해 알아보자. measurable space 가 있다고 하다. 가 있다고 하자. 위에 sigma algebra를 주는 방법이 여러개 있겠지만 를 이용해서 정의할 수도 있다. 바로 를 포함하는 가장 작은 sigma algebra로써 말이다. 정의하는 방법은 아래와 같다. 이것을 sigma algebra 에 의한 위의 proudct of sigma algebra라고 부른다. [Measure Theory(측도론)-7] 집합들에 … Read more

Pushforward measure에 대해 알아보자. measure space 가 있다고 하자. 는 set이고 는 위의 sigma algebra 이다. 그리고 는 measure이다. 그리고 measurable space 가 있다고 하자. 는 set이고 는 위에 정의된 sigma algebra라고 하자. 아직 위에 measure가 정의되어 있지 않다는 사실에 주목하자. measurable function 가 있다고 하자. 위에는 measure 가 있다. function 와 measure 를 이용해서 … Read more

Brownian Bridge의 pdf (probability density function)에 대해 알아보자. 지난 글 ( Brownian bridge의 정의 및 closed form )에서 Browian bridge의 closed form에 대해 알아보았다. Brownian bridge의 closed form Brownian motion 가 주어질 때, 이것을 이용해서 Brownian bridge의 pdf에 대해 알아보자. Brownian bridge의 pdf 여기서 이고 브라우니안 운동의 특성에 의해 의 variance는 입니다. 따라서 Brownian bride의 pdf는

Bridge matching에 대해 알아보자. Bridge matching은 한 분포 로 부터 를 잇는 bridge를 만드는 것으로 보면 된다. 아래의 SDE를 표현하는 Markov path measure 가 있다고 하자. 위의 SDE에서 에 각각 condition 이 있다고 하자. 이에 따른 는 아래와 같은 diffusion bridge를 따른다. 이제 를 independent coupling이라 하고 를 mixture of bridge라고 합시다. Bridge matching의 목표는 … Read more

Doob’s h-transform을 이용한 markov process에 대해 알아보자. SDE로 표현되는 stochastic process 가 있다고 하자. 그리고 에 대한 conditional density를 라고 표현하자. 그리고 에 대한 Doob’s h-transform을 라고 하자. 이 를 이용해서 새로운 transition kernel을 만들 수 있다. Doob’s h-transform을 이용한 transition kernel 위와 같이 h를 이용해서 라고 만들수 있습니다. 실제로 probability density가 되고 이것을 이용해서 … Read more

Doob’s h-transform이란 무엇일까? Stochastic Differential Equation 가 있다고 하자. time 에 대한 의 conditional probability density (혹은 transition density를)아래와 같이 표시하자. Doob’s h-transform 정의 Doob’s h-transform은 기호는 라고 쓰는데 아래의 함수로써 정의된다.