유사역행렬(Pseudo Inverse)의 정의와 계산법

역행렬은 행렬이 정방행렬(Square Matrix)일때만 정의된다. 그런데 때때로 정방행렬이 아닌 행렬에 대해 역행렬과 비슷한 성질을 갖는 놈이 종종 필요하다. 다행이도 유사역행렬(Pseudo Inverse)이 있고 역행렬과 성질이 비슷하다. 이번 글에서는 유사역행렬이 무엇인지 알아보고 유사역행렬을 구하는 방법을 알아보자. 유사역행렬(Pseudo Inverse)란? 행렬 $A$의 유사역행렬 $A^+$는 다음의 성질을 만족하는 행렬이다. $AA^+A = A$ $A^+AA^+ = A+$ $(AA^+)^* = AA^+$ $(A^+A)^* = … Read more

확률 밀도 함수(probability density function)의 의미, 적용

어떤 확률공간(probability space)를 분석하기 위해서는 random variable $X$의 성질을 보는 것으로 충분합니다. 기대값, 평균, 분산등을 구하는데 있어서 확률변수가 연속적이라면 확률 밀도 함수(probability density function, pdf)가 필요한데요. 이번 글에서는 확률 밀도 함수의 정의를 알아보고 의미와 쓰임새를 알아보도록 합시다.   확률 밀도 함수(pdf)의 정의 연속인 확률변수 $X$가 있다고 하자. $X$의 pdf $f_X(x)$는 다음을 만족하는 함수이다. 조건1. $f(x) … Read more

[디지털 신호 처리]푸리에 변환(Fourier Transformation)의 정의와 의미

신호 $x[n]$을 분석하기 위한 수단으로 푸리에 변환(Fourier Transformation)이 있다. 시간에서 정의된 신호를 주파수의 관점에서 분석하기 위해 푸리에 변환을 사용한다. 이번글에서는 이산 신호$x[n]$에 대하여 푸리에 변환의 정의를 살펴보고 어떤 의미를 가지는지 살펴보도록 한다. 푸리에 변환(Fourier Transformation)의 정의 신호 $x[n]$의 푸리에 변환은 아래와 같이 정의된다. $$X(e^{j\omega}) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] e^{-jk\omega} \tag{1}\label{1}$$ 푸리에 변환의 정의 (\ref{1}) 자체는 어렵지 … Read more

확률밀도함수(Probability Mass Function, PMF)의 의미

확률과 통계를 공부하면서 확률밀도(Probability Mass Function)은 정말 자주 만나는 친구이다. 확률밀도를 이용하면 평균, 분산 그 이외의 기대값들을 계산 해 낼 수 있기 때문이다. 너무나 익숙해진 나머지 생각없이 사용하는데 확률밀도 함수가 무엇인지 한번 알아보도록 하자.   확률밀도함수(Probability Mass Function)의 정의 확률밀도함수(Probability Mass Function)는 이산확률변수(Discrete Random Variable)에 대해 정의 된다. 이산확률변수 $X$가 어떤 값을 어떤 확률로 갖게 … Read more

[확률과 통계] 조건부 기댓값이란? conditional expectation

확률변수가 X,Y 두개가 있다고 하자. 하나의 확률변수가 주어졌을 때 다른 하나의 확률변수의 확률질량함수와 확률밀도함수인 조건부확률밀도함수와 조건부확률질량함수의 정의와 의미)를 구할 수 있다. 이렇게 조건부확률질량함수와 조건부확률밀도함수는 확률질량함수와 확률밀도함수와 같은 역할을 한다. 확률질량/밀도를 이용해 기대값을 정의하듯 조건부확률질량/밀도를 이용하여 조건부 기대값을 정의할 수 있다.    조건부 기대값(Conditional Expectation) X,Y 가 확률변수 일 때, Y가 주어질 때 X의 기대값이 조건부 … Read more

기하분포(Geometric distribution)의 정의와 확률밀도함수(pmf)

확률변수는 특정 분포를 따른다. 확률변수를 통해 정보를 나타내고 어떤 정보를 나타내는 냐에 따라서 분포가 달라진다. 이번 글에서는 기하분포가 무엇인지 알아보고 기하분포의 확률밀도함수에 대해서 알아보자. 기하분포의 정의 기하분포는 어떤 베르누이 시행을 했을 때 성공할 때 까지 시도횟수를 의미한다. 따라서 가질 수 있는 값은 0,1,2,.. 등 0보다 크거나 같은 정수들이다.   기하분포의 확률밀도함수(pmf) 기하분포를 따르는 확률변수 $X$의 … Read more

기하분포(Geometric distribution)의 분산(Variance)

기하분포를 이용하여 베르누이 시행에서 성공이 나올때까지 실패한 를 모델링 할 수 있다. 기하분포의 확률밀도함수()에 대해서는 알아봤었고 평균에 대해서도 이글()에서 알 수 있다. 이번 글에서는 기하 분포의 분산을 구해보도록 하자.!   기하분포의 분산 구하기 기하분포의 분산을 구해보도록 하자. 이산확률변수인 기하분포 확률변수와 관련된 함수의 기대값을 구하기 위해서는 확률밀도함수를 알아야 한다. 기하분포의 확률밀도함수   $$p_X(k) = p(1-p)^k , … Read more

확률변수의 기대값(Expectation)과 이산확률변수에서 계산방법

확률변수 $X$는 우리가 알고 싶은 정보를 숫자로 표현한 것이다. 숫자이기 때문에 여러 계산이 가능하다. 의미있는 계산을 해야 되는데 그중에서 의미있는 것은 바로 기대값(Expectation)이다. 기대값의 의미는 이 확률변수가 평균적으로 어떤 값을 갖냐라는 것을 의미한다.    확률변수의 기대값 정의 확률변수 $X : (\Omega, A , P) \to \mathbb{R}$가 정의되어 있을 때 확률변수 $X$의 기대값은 다음과 같이 정의한다. … Read more

[LaTex/MathJax] 화살표 위에 문자 입력하기

\stackrel {\omega}}{\Omega} MathJax를 이용해 수식을 입력중이었다. 푸리에 변환에 대해 설명하는 중이었는데 푸리에 변환을 뜻하는 $x_(t) \stackrel {\mathcal{F}}{\leftrightarrow} X(j\Omega)$를 입력해야했다. 여기서 화살표위에 글자를 입력해야됬는데 그 방법을 몰라서 한참해맸다. 구글링해본 결과 다음과 같이 입력하면 되었다. 화살표 위에 문자 입력하기 명령어 \stackrel stackrel을 이용하면 되었다. \stackrel {\mathcal {F}}{\leftrightarrow} 입력결과는 아래와 같다. $$\stackrel {\mathcal {F}}{\leftrightarrow}$$   \stackrel 을 이용하면 … Read more

푸리에 변환(Fourier Transform)의 시간 이동(Time Shift)성질

푸리에 변환은 여러모로 쓸모가 많다. 수학적으로는 함수들간의 매핑(mapping)을 의미한다. 신호 및 시스템(signals and system)및 공학분야에서는 시간영역(time domain)의 신호를 주파수영역(frequency domain)에서 해석을 하기 위해서 푸리에 변환(fourier transformation)을 한다. 푸리에 변환을 이용해 해석을 하기 위해서는 푸리에 변환의 계산은 필수적이다. 적분을 해서 푸리에 변환을 하면 되겠지만 푸리에 변환의 몇가지 성질을 이용하면 푸리에 변환을 쉽게 구할 수 있고 해석이 … Read more