곱셈의 푸리에 변환 성질에 대해 알아보겠습니다. 신호 $x[n]$,$y[n]$이 있다고 합시다. 이 두 신호의 곱 $x[n]y[n]$의 DTFT는 어떤 형태가 나올까요?
$x[n]y[n]$의 DTFT 꼴
$z[n]=x[n]y[n]$이라 할 때 $Z(e^{j\omega})$는 어떤 형태일까요? 계산해보겠습니다.
$Z(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]y[n] e^{-j\omega n}$
$y[n]$을 푸리에 변환의 역변환을 이용해 표현하면 아래와 같이 변합니다.
$Z(e^{j\omega}) = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty x[n] \left(\int_{-\pi}^\pi Y(e^{js})e^{jsn}ds\right) e^{-j\omega n}$
위의 식을 좀 변형하겠습니다.
$Z(e^{j\omega}) = \frac{1}{2\pi} \left(\int_{-\pi}^\pi Y(e^{js})\left ( \sum_{n=-\infty}^\infty x[n] e^{-j\omega n} e^{jsn} \right) ds\right) $
이것을 변형하면 아래와 같이 변합니다.
$$Z(e^{j\omega})= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi X(e^{j(w-s)}) Y(e^{js}) ds$$
결론 $x[n]y[n]$의 DTFT는 $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi X(e^{j(w-s)}) Y(e^{js}) ds$이다.