Quadrature Mirror Filter Bank 사용시 생기는 현상들에 대해 살펴보자. 그러면서 어떤 QMF filter bank 를 사용해야 본래 신호를 복원할 수 있을지도 관찰해보자.
QMF filter bank
QMF filter bank 는 위와 같이 생긴 필터 뱅크이다. 두부분으로 쪼개서 신호처리를 한다고 보면 된다. 여기서 $H_k, F_k$를 잡는 것이 중요한 요소이다.
Aliasing
$H_k$를 어떻게 잡느냐가 중요하다. (a)의 경우 aliasing 은 없지만 $\omega = \pi/2$부근에서 attenuation 발생하다. 즉 $\omega=\pi/2$에서 주파수대역의 정보가 복원 불가하다는 얘기이다. (b)의 경우 aliasing 은 발생하지만 synthesis filter를 어떻게 잡느냐에 따라 문제를 해결할 수 있다.
QMF 어떻게 잡을까?
QMF 어떻게 정의하는지 보기 위해 하나씩 계산해보자.
$$X_k(z) = H_k(z) X(z)$$
$$V_k(z) = \frac{1}{2}(X_k(z^{1/2})+X_k(-z^{1/2}))$$
$V_k$는 decimation 되서 나온 결과이기 때문에 이렇게 나왔고 계산을 좀더 해보면
$$Y_k(z) = V_k(z^2)$$
그리고
$$\hat{X}(z) = \frac{1}{2}(H_0(z)F_0(z)+H_1(z)F_1(z))X(z) + \frac{1}{2}(H_0(-z)F_0(z)+H_1(-z)F_1(z))X(-z)$$
여기서 $X(-z)$ term 때문에 aliasing 이 생긴다. aliasing 을 없애기 위해서는 $F_0(z)=H_1(-z)$, $F_1(z) =- H_0(-z)$으로 잡으면 아래와 같은 꼴이 나온다.
$$\hat{X}(z) = \frac{1}{2} [H_0(z)H_1(-z)-H_0(-z)H_1(z)]X(z)$$
여기서 $T(z) = H_0(z)H_1(-z)-H_0(-z)H_1(z)$라고 하면 식이 아래와 같이 바뀌겠다.
$$\hat{X}(e^{j\omega}) = \mid T(e^{j\omega})\mid e^{j arg T(e^{j\omega})}X(e^{j\omega})$$
Amplitude Distortion
여기서 $|T(e^{j\omega})|$이 상수가 아닌이상 amplitude distortion 이 발생하고
Phase Distortion
여기서 $argT(e^{j \omega})=a\omega + b$이 아닌 이상 phase distortion 이 발생합니다.
정리
QMF bank 를 사용할경우 aliasing, amplitude & phase distortion 이 발생한다. 필터를 잘설계해야 함!
출처
